有限数学示例

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

解题步骤 1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

解题步骤 2.2

化简 $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

解题步骤 2.2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

解题步骤 2.2.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

解题步骤 2.3

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

解题步骤 2.4.1.1.2

重写表达式。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

解题步骤 2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

从等式两边同时减去 $14$ 。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2

化简 $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

运用分配律。

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

运用分配律。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.3

运用分配律。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.4

运用分配律。

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.5.2.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

解题步骤 2.5.2.3

从 $- 1$ 中减去 $14$ 。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

解题步骤 2.5.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 2.5.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x + 5) = 0$

解题步骤 2.5.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.5.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.5.6

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.5.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.5.7

最终解为使 $(x - 3) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 5$

解题步骤 2.6

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

解题步骤 2.7

化简 $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

解题步骤 2.7.2

化简项。

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解题步骤 2.7.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

解题步骤 2.7.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

解题步骤 2.7.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

解题步骤 2.8

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

化简左边。

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解题步骤 2.9.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.9.1.1.2

重写表达式。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.9.2.1

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.10.1

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.10.1.1

在等式两边都加上 $14$ 。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2

化简 $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ 。

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解题步骤 2.10.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.1.2.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.10.1.2.1.2.1

运用分配律。

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.2.2

运用分配律。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.2.3

运用分配律。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.4

运用分配律。

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.10.1.2.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

解题步骤 2.10.1.2.3

将 $- 1$ 和 $14$ 相加。

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

解题步骤 2.10.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.10.3

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 13$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4

化简。

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解题步骤 2.10.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.10.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 。

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解题步骤 2.10.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.3

从 $4$ 中减去 $52$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.10.4.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.10.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.10.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.10.5

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

解题步骤 2.11

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

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